Crisol Matemático

Hace algunos años me llamo la atencion la facilidad con que los comerciantes podian calcular procesos aritmeticos pese a su carencia en estudios superiores y la duda dio paso a una investigacin seria relacionada con la facilidad del calculo mental

Aqui dejare una serie de documentos y referencias relacionadas con esta habilidad implementable en nuestros alumnos bajo la perspectiva de estimular su implentacion en la resolucion de diversos problemas cotidianos.

Por cierto, quien aparece en la imagen es Srinivasa Ramanujan

Voy a citar una de sus genialidades

Cuenta una anécdota que cuando el científico indio enfermó, Hardy solía visitarlo en el hospital y que un día al llegar, le comento:

—El taxi que me ha traído tenía un número bastante soso, el 1729.

Ramanujan respondió:

—No, Hardy. Es un número muy interesante. Es el más pequeño de los números que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos maneras distintas.

Y este hombre se estaba fundiendo en fiebre

Tecnica gráfica de multiplicación

Hace algunas semanas mi hermana me informo de las complicaciones de mi sobrina en el proceso de la multiplicacion qeu le estaban enseñando en el colegio. Ante el problema acudi prontamente a dar una solucion. Me encontre con qeu la señorita tenia dificultades en el proceso de conteo y procedi a desarrollar la siguiente actividad.

 Como todos sabemos dos por uno es dos, sin embargo,¿ cómo mostrarle este proceso a una damita de segundo basico? En la figura procedo a reunir dos lineas qeu se cruzan con una transversal. si contamos los puntos de corte veremos qeu son dos. Esto no parece aportar nada, sin embargo, si optamos ahora por mostrar el producto de dos por tres (2×3) se puede notar qeu dichas intersecciones tambien muestran una posibilidad de conteo.

y claramente se pueden ocntar los seis puntos de interseccion entre las lineas.

Ahora podemos analizar el caso de procesos mas complicados, como por ejemplo 23 por 2. En la figura se puede ver un total de 10 puntos de interseccion. ¿cómo contarlos entonces?

Simplemente agrupando

Hasta aqui no hay problema

Compliquemos un poco?

¿cuanto es 23 x 45 ?

 

al contar se puede notar qeu aparece una dificultad ?

Tambien resulta sencillo. Bastara con sumar adecuadamente y mantener las reservas como se muestra en la parte inferior

 

Si anotamos solamente el numero 5 y trasladamos la decena, (1) , al centro podremos sumar todas las correspondientes al problema. Esto es sumar 10+1+12, lo que nos da 23.

 

Anotamos entonces las decenas correspondientes y procedemos a trasladar las centenas  asu lugar, es decir, sumando a las qeui ya tenemos. ( 8+2). Al hacerlo obtenemos un 10, el cual es el numero que da por terminado el proceso

Y ahora podemos anotar el resultado en forma tradicional

23x 45 es 1035.

Es equivalente hacerlo en forma inversa?

Cuente usted y verifiquelo

¿Y qué pasa con números mas grandes?

Por ejemplo, 45×321

Cuente y despues me cuenta como le fue.

 

 

Una de las carencias más significativas en la enseñanza de las matemáticas esta centrada en la dificultad de los estudiantes para buscar soluciones a problemas. Principalmente este drama es generado por una angustia asociada a la operatoria aritmética que deben desarrollar, pues las dificultades de los algoritmos implementados dificultan el acercamiento a las respuestas relacionadas con el problema que le da origen

 

Se ha mostrado que en general los alumnos carecen de intenciones para dedicarse a aplicar procesos por su renuencia a los diversos procesos que mal ha aprendido y en consecuencia no ha mostrado más que respuestas numéricas que carecen de significado ante el o los enunciados mostrados.

 

En el caso particular de estos procesos tratare de mostrar modelos didácticos para la enseñanza de procesos alternativos que faciliten el acercamiento de los estudiantes a las correspondientes respuestas ante los problemas dados.

 

Las tablas de multiplicar

 

Quizás la mayor divergencia de nuestros picaros estudiantes sea el aprendizaje de las tablas de multiplicar.

La dificultad que encierra se basa en que está cerrada a un proceso mecanicista que no siempre es bien logrado y una alternativa a este proceso se basa en  una estructura desarrollada por Euler, para su sobrino la cual se basa en el uso de los dedos de las manos

 

Si consideramos estadísticamente las fallas de nuestros estudiantes veremos que principalmente fallan el las siguientes tablas.

 

6×6, 6×7, 6×8, 6×9, 7×7, 7×8, 7×9, 8×9 y 9×9

 

El método se basa en usar las dos manos, considerando desde el pulgar al índice los números 6,7, 8, 9 y 10

 

En la siguiente fotografía se puede ver el producto de 6×6. Al levantar ambos pulgares se percibe el numero seis en cada mano. Luego solo será necesario multiplicar el número de dedos levantados por 10 y sumar el producto de los dedos bajados en cada mano, en este caso cuatro por cuatro.

Es decir

2⋅10+4⋅4 = 20+16=36

 

 

Del mismo modo se puede observar que el producto de 7 x 6 se obtiene según la indicación de siete en la mano izquierda y de seis en la mano derecha lo que nos da la siguiente pauta

 

3⋅10+3⋅4 =30+12 = 42

  

 

Del mismo modo 8×6, indicando el ocho con la mano izquierda y el seis con la derecha se llega a que

4⋅10+2⋅4 = 40+8= 48

 

 

Siguiendo con los ejemplos,  8 x 7 corresponderá a

5⋅10+2⋅3=50+6 =56

 

Y 8 x  8 a   6⋅10 + 2⋅2 = 60+4  =  64

 

 

Para terminar con 9 x 7, que como se muestra en la figura, es equivalente a

 

6⋅10+1⋅3=60+3= 63

 

 

Basándose en estos ejemplos se hace notable que la dificultad de las tablas de multiplicar desaparece rápidamente, pues con practica, dedicación e incluso un poco de repetición, los valores quedan fácilmente establecidos por los estudiantes

Sin embargo esta es solo una de las variaciones que podemos aplicar

 

 

Técnica para multiplicar por 11

Para multiplicar un número por 11 bastara sumar ordenadamente los dígitos desde la izquierda hacia la derecha, respetando el agregar las reservas en el mismo sentido

Por ejemplo

 

 

No es demasiado pedir que notemos que termina en dos

luego aparece un 5 (3+2)

 luego un 4

y finalmente un 1

 Otro ejemplo

Aquí aparece otro caso.

Termina en 8,

luego aparece un 4 (8+6=14, sobra 1),

luego un 8 (6+1+la reserva)

y finalmente un 1.

 

En consecuencia el secreto es saber sumar ordenadamente.

 

Veamos algunos ejemplos
Es evidente que estos productos son simples por no tener reservas; sin embargo, cuando trabajamos con numero del "otro tipo" la reserva puede ser extremadamente útil para reconocer los digitos a anotar, incluso sin desarrollar la suma.

Una tabla de entrenamiento, por lo demás práctica seria la siguiente

 

Los números anotados en color negro son fáciles de multiplicar, dado que suman menos de 9. Los números Rojos suman 10, de modo que se puede generar una regla para ellos, en tanto que los azules suman más de 10 y eso permite calcular las decenas con facilidad gracias a la reserva

Ejemplo

Es cosa de saber sumar adecuadamente

Ademas, es conveniente desarrollar la práctica para resolver multiplicaciones compuestas.

Por ejemplo

Es solo caso de práctica. En breve agregare una serie de ejercicios para simplificar el proceso

Terminados en 1 y al cuadrado

 

La prueba del nueve.

Hace tiempo se enseñaba en los colegios una curiosa forma de comprobar si el resultado de una división que uno ha hecho a mano es correcto. Se llama "la prueba del nueve", y la encontré en la "enciclopedia escolar" que usaba mi padre como libro de texto en segundo grado cerca del año cincuenta y cuatro o cincuenta y cinco. En ella, aparte de cosas edificantes sobre urbanismo como que "el saludo en cualquier circunstancia debe iniciarlo el inferior" aprendemos el siguiente método.

Digamos que hemos hecho una división de números enteros positivos, por ejemplo 8.058 entre 237. Hemos obtenido 34 (exacto, sin resto) y queremos comprobar que está bien. Desde luego, podemos multiplicar 34 por 237 y ver si da 8.058, pero para números grandes eso es largo y pesado, así que es útil disponer de una forma más rápida. La prueba del nueve consiste en tomar el número inicial, aquí 8.058, y sumar sus cifras, y hacerlo de nuevo hasta que quede una sola cifra: 8+0+5+8=21, 2+1=3. Nos quedamos con el tres y hacemos lo mismo con los otros dos números, el divisor y el supuesto cociente:

2+3+7 = 12, 1+2 = 3
3+4 = 7

Ahora multiplicamos los dos números de una cifra que acabamos de obtener, 3 y 7, y repetimos el proceso:

3×7 = 21, 2+1 = 3

Como da tres, que es lo mismo que obtuvimos al realizar el proceso con el dividendo (8.058), la prueba es correcta para esta división. Si obtenemos algo distinto la prueba dice que la división está mal.

Un segundo ejemplo: 836.652 entre 678.

Creemos que da 1.244.

¿Es verdad?

836.652: 8+3+6+6+5+2 = 30, 3+0 = 3
678: 6+7+8 = 21, 2+1 = 3
1.244: 1+2+4+4 = 11, 1+1 = 2

Como 3×2=6, que no es el primer 3 que obtuvimos, la prueba dice que la división está mal (el resultado correcto es 1.234, con el cual la prueba sí funciona).

Por algún motivo, al hacer la prueba en un papel solían escribirse los números dentro de los huecos que quedan al hacer dos trazos formando una X (los tres que se obtienen de dividendo, divisor y cociente y el de multiplicar divisor por cociente). Recuerdo que de pequeño cuando ya estaba harto de multiplicar números para ver si las divisiones de los deberes estaban bien, mi padre me enseñó esta forma de comprobarlo. Al día siguiente se lo enseñé al profesor en clase, y me dijo que "bueno, está bien, pero es mejor que hagas las multiplicaciones para aprender".

Pienso que es justo al revés:

Primero, esta prueba enseña que pueden inventarse formas más interesantes de hacer las cosas, y además tiene cierto misterio si uno se pregunta por qué debería funcionar. Si uno se pregunta eso, enseña mucho más que todas las multiplicaciones y divisiones que puedas hacer.

¿Y por qué funciona?
De hecho,

¿Cómo sabe uno que funciona?. ¿Siempre que la prueba sale bien la división es correcta?

¿Siempre que sale mal está mal la división?.

¿Puedes modificar la prueba para divisiones que no sean exactas (con resto)?

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admin on Noviembre 23rd, 2009 | File Under calculo mental | 1 Comment -