Crisol Matemático

 

Pero, ¿qué es un fractal? Más o menos ya lo he dicho con mis anteriores palabras. Un fractal es una estructura geométrica resultante de la iteración (repetición) infinita de un proceso geométrico simple y bien especificado, que le suele dar un aspecto final de gran complejidad. Una de las características de los fractales es la autosemejanza: si escogemos cuidadosamente una parte del mismo, obtendremos nuevamente el fractal de partida, aunque en tamaño más pequeño.

 

Quizá esto se entienda mejor con un ejemplo. Cojamos un segmento de longitud 1 y dividámoslo en tres partes iguales. Ahora retiramos la del medio y nos quedamos con los extremos (al contrario de lo que deberíamos hacer en la vida cotidiana). Volvemos a repetir el proceso (eh aquí la iteración de la que hablábamos) en cada uno de los dos segmentos, de longitud 1/3, que nos han quedado. Luego realizamos nuevamente el mismo procedimiento en los 4 segmentos que tenemos… y así hasta el infinito. En este caso no podemos hablar de un fractal hermoso y colorido… porque aparentemente, para un ojo humano, el resultado es el mismo que si no hubiéramos hecho nada (aunque en realidad nos queda un conjunto de puntos con muchos agujeros). A este fractal lo denominamos conjunto de Cantor… Es curioso que, a pesar de tener longitud nula, tenga tantos puntos como el espacio tridimensional. Pero con los fractales ocurren estas cosas.

 

Por Internet hay infinidad de imágenes de fractales que el lector-investigador puede buscar sin mucha dificultad. Lo que quiero mostrar hoy en este post es otra cosa: un ejemplo de “poesía fractal”. Vamos, un fractal construido con palabras. No es que sea exactamente un fractal, claro, pero seguro que el atento lector sabrá deducir qué relación tienen las siguientes palabras con dicho ente geométrico. La versión original está en inglés (hago una traducción bastante chapucera después. Agradezco cualquier aportación para su mejora) y la escribió Dane R. Camp. La encontré en el número 2 del volumen 30 de la “Journal of Recreational Mathematics” (1999-2000), páginas 83-86. Está basada en el clásico cuento para niños “El Gato Garabato” (The Cat in the Hat en inglés), del Dr. Seuss. Pues adelante:

The Cat in the Hat came back again

again The Cat in the Hat came back…

 

It all started this morning

as I worked at school

half heartedly on fractions

at my favorite stool.

 

Mr. Snyde our math teacher

had been out all week

and each fresh replacement

had left with a shriek.

 

Then all of a sudden

the new sub walked in

He look real familiar

and said with a grin,

 

“Forget about fractions

they’re way too confusing,

the study of fractals

is much more amusing.”

 

But before he got started

I spoke with a hiss,

“When am I ever

gonna use this?”

 

The Cat in the Hat

then pulled out a chart,

pictures, and vegetables

and thick books on art,

magnets, a lap top,

and oh so much more,

and I thought to myself,

“What could all this be for?”.

 

A smile crossed his lips

and he said, “Yes, it’s clear

that you can find fractals

almost everywhere!”

 

I pleaded, “Oh tell me

please tell me will you,

what is a fractal

and what does it do?”

 

“A fractal is something special,” said he,

“that contains itself indefinitely

with tiny little copies that have inside’m

still tinier copies-ad infinitum!”

 

“If you’ll allow me I’ll give you a sample

for instance a tree is affine example.”

 

“In nature fractals show their power

in ferns, bushes and broccoliflower,

cracks in the mud or meandering forms,

like rivers and lightning in thunderstorms.”

 

“And your body’s full of fractal trees

which wander inside you as muchs as they please

like blood and the oxigen it carries

from the arteries to the capillaries

and the structure of the lungs belie

branches from bronchia to alveoli.”

 

“In math, of course, fractals abound

through function composition’s found

Julica, Cantor, and Mandelbrot sets,

snowflakes, carpets, and holey gaskets.”

 

“Fractal behavior is even revealed

in the attractive power of magnetic fields,

flood cycles, stock markets,

and the patterns of growth in aggregates.”

 

“One can find a fractal structure

In African art and architecture,

Escher’s drawings which iterate,

and mandalas on which to mediate,

Perhaps in Frank Lloyd Wright-you bet!

 

And Shakespeare’s plays like Ham-e-let

celtic symbols, and mythology

ancient philosophers and cosmology,

aqueducts, music and designer clothes

by Jhane Barnes and heaven knows

 

In poetry you need a fractal

to rhyme with words like pterodactyl

and there are poems which are designed

to be like fractals-intertwined.

And fractal structure can be found

in organizations that are sound…

 

The Cat went on and on and on

and on and on and on

And after he had said it all

he handed me a Russian Doll.

 

He said, “Here’s a matryoshka

to help you know

what fractals are

now you can go!”

 

I got home and opened the doll

to one by one remove them all

but always found another one-

It looked like I’d never be done!

 

My mom came in and asked me why,

and this was my exact reply,

“It all started this morning

as I worked at school

half heartedly on fractions

at my favorite stool…

 

 

 

El Gato Garabato regresa otra vez

otra vez El Gato Garabato regresa…

 

Todo comenzó esta mañana

cuando estudiaba en la escuela

sin ganas, fracciones

en mi silla favorita

 

Mr. Snyde, nuestro profesor de matemáticas,

había estado fuera toda la semana

y cada nuevo suplente

había salido con un grito

 

Entonces de repente

el nuevo suplente tropezó

lo que era muy familiar

y dijo con una mueca,

 

“Olvidad las fracciones

son demasiado confusas,

el estudio de los fractales

es mucho más divertido”.

 

Pero antes de que empezara

yo hablé con un siseo

¿Cuándo voy

a usar esto?

 

El Gato Garabato

luego sacó un gráfico,

cuadros, y verduras

y densos libros de arte,

imanes, un laptop,

y oh, mucho más,

y yo pensé

¿Qué puede ser todo esto?

 

Una sonrisa cruzó sus labios

y él dijo, “Sí, está claro

que puedes encontrar los fractales

casi en todas partes”

 

Yo rogué, “Oh dime

por favor dime,

¿qué es un fractal

y qué hace?”

 

“Un fractal es algo especial,”, dijo él,

“que contiene en sí mismo indefinidamente

pequeñas copias que tienen dentro

aún copias más pequeñas hasta el infinito”

 

“Si me lo permites te voy a dar una muestra

por ejemplo un árbol es un afín ejemplo”

 

“En la naturaleza los fractales muestran su poder

en helechos, arbustos y broccolis,

en grietas en el barro o en las formas serpenteantes,

como ríos y relámpagos en las tormentas.”

 

“Y tu cuerpo está lleno de árboles fractales

que vagan dentro de ti tanto como ellos quieren

como la sangre y el oxígeno que lleva

desde las arterias a los capilares

y la estructura de los pulmones parecen

ramas desde los bronquios hasta los alveolos”.

 

En mates, por supuesto, los fractales abundan

mediante composición de funciones creadas

conjuntos de Julia, Cantor, y Mandelbrot,

copos de nieve, alfombras, y juntas agujereadas.

 

El comportamiento fractal es incluso revelado

en el poder de atracción de los campos magnéticos,

ciclos de inundación, el mercado bursátil,

y los patrones de crecimiento en agregados.

 

 

“Uno puede encontrar una estructura fractal

en el arte y arquitectura africanos,

en los dibujos de Escher con iteraciones,

en mandalas,

Quizás en Frank Lloyd Wright-¡puedes estar seguro!

 

Y en los juegos de Shakespeare como en Hamlet

en símbolos celtas, y en la mitología,

en antiguos filósofos y en la cosmología,

acueductos, en la música y en la ropa de diseño

de Jhane Barnes y sólo el cielo sabe

 

En la poesía necesitas un fractal

para rimar con palabras como pterodáctilo (pterodactyl)

y hay poemas que tienen por objeto

ser como fractales entrelazados.

Y la estructura fractal puede ser encontrada

en organizaciones que son sólidas.

 

El Gato fue y sigue y sige

y sigue y sigue y sigue

Y después de haber dicho todo

me entregó una muñeca rusa.

 

Dijo, “Aquí hay una matrioska

para ayudarte a conocer

qué son los fractales,

ahora te puedes ir”

 

Fui a casa y abrí la muñeca

una por una quité todas

pero siempre encontraba otra

parecía como si nunca lo hubiera hecho

 

Mi madre entró y me preguntó por qué,

y ésta fue mi respuesta exacta,

“Todo comenzó esta mañana

cuando estudiaba en la escuela

sin ganas, fracciones

en mi silla favorita…

 

Por cierto, ¿alguien se atreve a hacer una versión en Español?

Para el que quiera más, aquí y aquí artículos sobre la literatura fractal y aquí un pdf (en inglés) sobre los fractales en la literatura de Shakespeare.